ドリップでコーヒーを淹れる場合、一番味わいの変化が感じられるのはフィルターを変えることだと思います。
ペーパーフィルターで淹れている方が多いと思いますので、違いを簡単に書きますね。

一番の違いはオイルがしっかり抽出されることですね。
コーヒーは種ですので、油分があります。
金属製のフィルターを使用するとコーヒーがダイレクトに抽出されますので、私たちが普段カッピングで確認しているような素材本来の味を感じやすくなると思います。
抽出される液体は少し濁ってカップの底には粉も少し入ります。
ペーパーフィルターで淹れるとオイル分の多くがペーパーに濾されて抽出されます。
抽出されたコーヒーはきれいな仕上がりになります。
味わいの違いは金属製フィルターではオイル分が抽出されるので、口あたりがまろやかになり、酸味や苦みもオイル分に包まれた感じでバランスがよくなります。
そもそも焙煎もブレンドも私がカッピングでバランスをとっているので、そう感じるということですね。
ペーパーフィルターで淹れた場合は、きれいな口あたりとすっきりとした後口でやや酸味や苦みが感じやすくなると思います。

後片付けはペーパーフィルターは紙ごと捨てられてお手軽ですね。
金属フィルターはコーヒーの粉を捨ててから洗うので、捨てる場所（私は三角コーナーに100均の不織布を使っています）が必要です。
あとはペーパーフィルターは消耗品ですが、金属フィルターはずっと使い続けられます。

私自身おすすめを聞かれれば金属フィルターと答えますが、どちらがいいか悪いかではなくライフスタイルなどによって選んだり使い分けたりすればいいと思います。